Dedekindの定理における因数分解のサイクル型とGalois群の置換の不分岐性を交えた詳細な解説

証明 本命題の対偶である「$p$ が $E/\mathbb{Q}$ で分岐するならば、$p \mid \Delta(f)$ である」を証明する。

$p$ が $E/\mathbb{Q}$ で分岐すると仮定する。このとき、定義2における分解において、少なくとも1つの素イデアルに対して分岐指数が $e_i > 1$ となる。そのような $p$ の上にある素イデアルの1つを $\mathfrak{P}$ とおく。 代数的整数論の基本定理より、慣性群 $I_{\mathfrak{P}}$ の位数は分岐指数 $e$ に等しい。今 $e > 1$ であるから、慣性群 $I_{\mathfrak{P}}$ は恒等写像ではない元 $\sigma \neq \text{id}$ を含む。

$E$ は $f(x)$ のすべての根 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ によって $\mathbb{Q}$ 上生成される最小分解体である。$\sigma$ は恒等写像ではないため、すべての根を固定することはできない。したがって、ある相異なるインデックス $i \neq j$ が存在して、 $$\sigma(\alpha_i) = \alpha_j$$ を満たす。

一方で、$\sigma$ は慣性群 $I_{\mathfrak{P}}$ の元であるため、慣性群の定義（定義4）より、任意の代数的整数に対して $\mathfrak{P}$ を法とする合同式において作用が不変である。根 $\alpha_i$ は $f(x)$ がモニック多項式であることから $\mathcal{O}_E$ の元であり、代数的整数である。ゆえに、 $$\sigma(\alpha_i) \equiv \alpha_i \pmod{\mathfrak{P}}$$ が成り立つ。これに $\sigma(\alpha_i) = \alpha_j$ を代入すると、 $$\alpha_j \equiv \alpha_i \pmod{\mathfrak{P}} \quad \implies \quad \alpha_i - \alpha_j \in \mathfrak{P}$$ を得る。

多項式 $f(x)$ の判別式 $\Delta(f)$ は、根を用いて $$\Delta(f) = \prod_{1 \le k < l \le n} (\alpha_k - \alpha_l)^2$$ と表される。この積の因子には、インデックスの順序を適切に選ぶことで $(\alpha_i - \alpha_j)^2$ が必ず含まれる。$\alpha_i - \alpha_j \in \mathfrak{P}$ であるから、その自乗も $\mathfrak{P}$ に属し、それを含む全体の積である判別式もまた $\mathfrak{P}$ に属する。すなわち、 $$\Delta(f) \in \mathfrak{P}$$ である。

ここで、$\Delta(f)$ は整数係数多項式の判別式であるから、有理整数環 (ring of rational integers) $\mathbb{Z}$ の元である。したがって、 $$\Delta(f) \in \mathfrak{P} \cap \mathbb{Z}$$ が成り立つ。素イデアル $\mathfrak{P}$ は $p$ の上にあることから、$\mathfrak{P} \cap \mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$ である。ゆえに、 $$\Delta(f) \in p\mathbb{Z}$$ となり、これは $p$ が $\Delta(f)$ を割り切ること（$p \mid \Delta(f)$）を意味する。

対偶が示されたため、元の命題も真である。 (Q.E.D.)

証明 $E$ を $f(x)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体とし、$G = \text{Gal}(E/\mathbb{Q})$ をその Galois群とする。$f(x)$ の $E$ における相異なる根を $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ とする。 $\mathcal{O}_E$ を $E$ の代数的整数環とし、$p$ の上にある $\mathcal{O}_E$ の素イデアルの1つを $\mathfrak{P}$ とする。

仮定より $p \nmid \Delta(f)$ であるため、命題1により $p$ は拡大 $E/\mathbb{Q}$ において不分岐である。したがって、慣性群 $I_{\mathfrak{P}}$ は自明な群 $\{ \text{id} \}$ である。

自然な還元準同型写像 $\pi: \mathcal{O}_E \to \mathcal{O}_E/\mathfrak{P}$ を考え、要素 $a \in \mathcal{O}_E$ の像を $\bar{a}$ と表す。 $f(x)$ の根の集合 $R = \{ \alpha_1, \dots, \alpha_n \}$ に対する $\pi$ の制限写像 $\pi|_R: R \to \mathcal{O}_E/\mathfrak{P}$ は単射 (injection) である。なぜなら、もし $i \neq j$ に対して $\bar{\alpha}_i = \bar{\alpha}_j$ と仮定すると、$\alpha_i - \alpha_j \in \mathfrak{P}$ となり、前節の議論から $p \mid \Delta(f)$ を導いてしまい矛盾するからである。 さらに、各 $\bar{\alpha}_i$ は $\mathbb{F}_p$ 上の多項式 $\bar{f}(x) = f(x) \bmod p$ の根であり、$\bar{f}(x)$ の次数も $n$ であるため、$\pi|_R$ は $f(x)$ の根の集合から $\bar{f}(x)$ の根の集合への 全単射 (bijection) を与える。

次に、分解群 $D_{\mathfrak{P}}$ を考える。各 $\sigma \in D_{\mathfrak{P}}$ は、剰余体 $\mathcal{O}_E/\mathfrak{P}$ 上の自己同型 $\bar{\sigma}$ を次のように引き起こす： $$\bar{\sigma}(\bar{\alpha}) = \overline{\sigma(\alpha)} \quad (\alpha \in \mathcal{O}_E)$$ これにより自然な群準同型写像 $\phi: D_{\mathfrak{P}} \to \text{Gal}((\mathcal{O}_E/\mathfrak{P}) / \mathbb{F}_p)$ が定まる。代数的整数論の一般論（参考文献 [2] を参照）により $\phi$ は全射 (surjection) である。また、今 $p$ は不分岐であるから、$\phi$ の核である慣性群 $I_{\mathfrak{P}}$ は自明である。ゆえに $\phi$ は群同型写像である。

有限体の Galois理論より、群 $\text{Gal}((\mathcal{O}_E/\mathfrak{P}) / \mathbb{F}_p)$ は Frobenius自己同型 $\text{Frob}_p: x \mapsto x^p$ によって生成される巡回群である。$\phi$ が同型であることから、$\phi(\sigma) = \text{Frob}_p$ を満たす元 $\sigma \in D_{\mathfrak{P}} \subset G$ が一意に存在する。

ここで、$\bar{f}(x)$ の $\mathbb{F}_p$ 上での既約分解を $$\bar{f}(x) = \bar{f}_1(x) \bar{f}_2(x) \dots \bar{f}_k(x)$$ とし、各既約因子 $\bar{f}_j(x)$ の次数を $n_j$ とする。有限体上の既約多項式の根は、Frobenius自己同型 $\text{Frob}_p$ の作用によって巡回的に置換され、長さ $n_j$ の巡回軌道をなす（参考文献 [3] を参照）。各既約因子は互いに素であるため、$\text{Frob}_p$ が $\bar{f}(x)$ の根全体に引き起こす置換のサイクル型は $(n_1, n_2, \dots, n_k)$ となる。

同型写像 $\phi$ の定義より、任意の根 $\alpha_i \in R$ に対して以下が成り立つ： $$\overline{\sigma(\alpha_i)} = \bar{\sigma}(\bar{\alpha}_i) = \text{Frob}_p(\bar{\alpha}_i)$$ 還元写像 $\pi|_R: \alpha_i \mapsto \bar{\alpha}_i$ は全単射であり、上の関係式はこの全単射写像によって $G$ の元 $\sigma$ の作用と $\text{Frob}_p$ の作用が完全に一致することを示している。 したがって、$\sigma$ が元の根 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ に引き起こす置換のサイクル型は、$\text{Frob}_p$ のサイクル型、すなわち $(n_1, n_2, \dots, n_k)$ と完全に一致する。

以上より、Galois群 $G$ はサイクル型 $(n_1, n_2, \dots, n_k)$ を持つ置換 $\sigma$ を含む。 (Q.E.D.)